随着新一代信息技术，特别是人工智能的快速发展，凸分析理论在机器学习、优化算法、通信技术、信号处理等领域得到了广泛的应用。新一代信息技术中的核心问题大多可归结为优化问题，凸分析理论作为优化问题的“数学基石”，为众多前沿技术提供了高效、可靠、可解释的基础支撑。该书凝聚了作者近年来的教学和科研成果，希望能为凸优化理论的发展提供借鉴。

作者简介

杨新民中共党员，二级教授，博士，博士生导师，国际系统与控制科学院院士，首批百千万人才工程国家级人选，全国杰出专业技术人才、全国第十四届政协委员，国家自然科学二等奖、重庆市最高科学技术奖、中国青年科技奖获得者，国家自然科学基金重大项目首席科学家，首批重庆英才优秀科学家，2021年和2023年中国科学院院士有效候选人。中国工业与应用数学学会首批会士和中国运筹学会首批会士，加拿大英属哥伦比亚大学（UBC）兼职教授。重庆国家应用数学中心和最优化与控制教育部重点实验室主任，中国运筹学会监事长，中国工业与应用数学学会副理事长，国家天元数学西南中心副主任，中国科学院优化与应用中心学术委员会副主任。曾任重庆师范大学党委常委、副校长，中国数学会副理事长，中国运筹学会副理事长，中国系统工程学会副理事长，国家自然科学天元基金领导小组成员，教育部科技委数理学部委员和教育部数学教学指导委员会委员。

主要研究方向及成就

主要从事向量优化理论与方法、广义凸性理论等的研究工作。

前言（节选）

凸分析是基础数学、应用数学、运筹学、经济与管理等学科的重要理论基础之一, 在集合论、拓扑学、函数论、广义微分、向量优化、流形优化、微分方程等现代数学领域的理论与应用研究中随处可见. 众所周知, 凸分析中凸集与凸函数具有许多独特的理论性质. 例如, 凸函数在闭凸集上具有全局最优性, 因此在算法设计中找到平稳点即可得到凸函数的全局最优解; 又如, 凹凸函数的鞍点存在性等.另外, 随着大数据、机器学习和人工智能等新一代信息技术的快速发展, 凸分析理论被广泛应用于解决这些领域的许多问题, 为这些领域的理论研究与应用提供了重要的数学基础和工具支持, 并在解决相关问题中发挥了重要作用. 例如, 在深度学习和强化学习的算法设计中, 凸分析理论能有效提高算法性能, 有利于算法快速收敛. 凸分析理论在众多理论研究与实际问题中的应用, 充分表明了学习和掌握凸分析基础理论的重要性.

学习优化理论和设计全局收敛算法都离不开凸分析基础. 随着凸分析理论的不断发展, 新的理论与方法不断涌现, 亟须对现有的凸分析著作进行补充和完善.相较目前已有的凸分析专著而言, 本书的优点在于更加全面系统地介绍了凸分析理论, 尽可能考虑到内容的全面性以及知识的广度和深度, 及时跟踪凸分析领域新的研究成果和发展趋势, 将新的理论和方法纳入书中, 保证了本书的基础性、时效性和前沿性. 针对以往著作习题量不足的情况, 本书还在每一章最后精心设计了一定数量的难易适中的习题, 以帮助本科生、研究生和研究者熟练掌握相关的方法与技巧.

国内外已出版了众多凸分析著作和教材, 由于出版时间和作者对内容的侧重点的差异, 这些专著和教材在理论内容深度和广度上都不尽相同.

本书作为一本关于凸分析基础的专著, 内容涵盖凸集、凸锥、凸函数、广义凸函数和凸函数微分等基本理论. 全书共六章, 尽量做到内容独立, 范围适当, 但并未包含一些比较特别的性质, 或普适性比较差的理论结果. 全书尽可能全面地介绍近年来关于凸分析理论的一些新研究成果, 尤其是广义凸函数的理论成果.

本书内容全面涵盖了凸分析的基础理论, 全书的许多结果参考了书后所附的文献. 本书适合高年级本科生和研究生在凸分析课程中的学习, 同时也适合最优化和其他领域的专业人员学习. 掌握本书内容对于深入研究凸分析和进一步学习最优化理论具有重要意义. 为了帮助读者学习和提高, 本书每一章都配置了相应的习题.